题目内容

(2012•广州一模)已知函数f(x)=tan(3x+
π
4
)

(1)求f(
π
9
)
的值;
(2)设α∈(π,
2
)
,若f(
α
3
+
π
4
)=2
,求cos(α-
π
4
)
的值.
分析:(1)直接利用两角和的正切公式求出f(
π
9
)
的值.
(2)由条件利用诱导公式求出tanα=2,再利用同角三角函数的基本关系求出 cosα=-
5
5
sinα=-
2
5
5
.再利用两角和的余弦公式求出cos(α-
π
4
)
的值.
解答:解:(1)f(
π
9
)
=tan(
π
3
+
π
4
)
…(1分)=
tan
π
3
+tan
π
4
1-tan
π
3
tan
π
4
…(3分)=
3
+1
1-
3
=-2-
3
.…(4分)
(2)因为f(
α
3
+
π
4
)=tan(α+
4
+
π
4
)
…(5分)=tan(α+π)…(6分)=tanα=2.…(7分)
所以
sinα
cosα
=2
,即sinα=2cosα.         ①
因为sin2α+cos2α=1,②
由①、②解得cos2α=
1
5
.…(9分)
因为α∈(π,
2
)
,所以cosα=-
5
5
sinα=-
2
5
5
.…(10分)
所以cos(α-
π
4
)
=cosαcos
π
4
+sinαsin
π
4
…(11分)=-
5
5
×
2
2
+(-
2
5
5
2
2
=-
3
10
10
.…(12分)
点评:本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力,属于中档题.
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