题目内容

过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点F引直线bx-ay=0的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若
EM
=2
MF
，则该椭圆的离心率为（　　）
分析：由题意可得可先求直线MF的方程，然后可得到E．F的坐标，再根据|FM|=2|ME|，求出M的坐标，由在直线bx-ay=0得到a，b之间的关系，即可求出答案．
解答：解：不妨以右焦点的坐标是（c，0）为例，设M（x，y）
∵EF垂直于直线y=
b
a
x
所以 直线EF的斜率是-
a
b
，直线的方程是y=-
a
b
（x-c）
当x=0时，y=
ac
b
，所以E点的坐标（0，
ac
b
）
∵
EM
=2
MF
，
∴（x，y-
ac
b
）=2（c-x，-y）=（2c-2x，-2y）
∴
x=
2c
3
y=
ac
3b

∴M的坐标（
2c
3
，
ac
3b
）
∵点M在直线bx-ay=0上，则2×
bc
3
-
ca2
3b
=0
整理得：2b2=a2
所以：c2=
1
2
a2
∴c=
2
2
a．
所以离心率e=
c
a
=
2
2

故选B
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生转化和化归的数学思想的运用，以及基本的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
（2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．
已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求椭圆的方程；
（2）求k的取值范围．
（如图）过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆
x2
5
+y2=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
a
b
的值为
1+
5
2
1+
5
2
．

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