Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，直线l：4x-5y+40=0，AB是直线l上的线段，且|AB|=2

41

，P是椭圆上一点，求△ABP面积的最小值．

Answer 1

分析：由直线l的方程和椭圆的方程易知，直线l与椭圆不相交，设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0，与椭圆方程联立，求出直线方程，再求出直线m与直线l间的距离，即可求△ABP面积的最小值．

解答：解：由直线l的方程和椭圆的方程易知，直线l与椭圆不相交，设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0…（1）
由

4x-5y+k=0 x2 25 + y2 9 =1

，消去y得25x²+8kx+k²-225=0…（2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0，
解之得k=25或k=-25，
容易知道k=25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0，
直线m与直线l间的距离d=

|40-25|

42+52

=

15 41

41

，
所以(S△ABP)min=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

41

×

15 41

41

=15．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．