Question

【题目】选修4-1：几何证明选讲

已知中,,是外接圆劣弧AC上的点（不与点重合）,延长至。

（1）求证: 的延长线平分；

（2）若,中边上的高为,求外接圆的面积。

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积

试题解析：（1）证明:如图,设F为AD延长线上一点,∵ABCD四点共圆．

∴∠CDF=∠ABC,

又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,

∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE,

（2）设O为外接圆圆心,连接AO并延长交BC于H,

∵△ABO△ACO, ∴∠BAO=∠CAO,

即AO为等腰三角形△ABC中∠BAC的角平分线，则AH⊥BC,

连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,

∴∠OCH=60°,

设半径为r,则r+得r=1,

∴外接圆面积为π