题目内容

已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证： $数学公式$ ；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

解：（Ⅰ）由柯西不等式得 $\text{[math]}$
代入已知a+b+c=3，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
当且仅当=b=c=1，取等号．（3分）
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
若c=ab，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即c≤1，当且仅当a=b=1时，
∴c有最大值1．（7分）．
分析：（I）利用柯西不等式得（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²得 $\text{[math]}$ ，代入已知a+b+c=3即得；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，若c=ab，由（I）得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而得出c≤1即得．
点评：本题主要考查了一般形式的柯西不等式．证明不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．

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已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比数列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c为等差数列{a_n}的前三项，求数列{an•xn-1}(x≠0)的前n项和．

（1）已知直线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．

已知正实数a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2

，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=

(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ）写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．