Question

已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比数列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c为等差数列{a_n}的前三项，求数列{an•xn-1}(x≠0)的前n项和．

Answer 1

分析：（I）利用正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，建立方程组，即可求b的值；
（II）（i）根据等比数列的性质，结合正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，即可求a，c的值；
（ii）确定数列的图象，分类讨论，利用等差数列求和公式及错位相减法，即可得到结论．

解答：解：（I）由题意，得

a+b+c=15            (1) a+c=2b                 (2)

由（1）（2）两式，解得b=5（4分）
（II）（i）因为a+1，b+1，c+4成等比数列，
所以（a+1）（c+4）=（b+1）²（3）
由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a²-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2，c=8或a=11，c=-1（舍）
所以a=2，c=8（8分）
（ii）因为a，b，c为等差数列{a_n}的前三项，
所以an=3n-1(n∈N*)
当x=1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5+8+…+3n-1=

n(3n+1)

2

当x≠1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5x+8x2+…+(3n-1)xn-1①xSn=2x+5x2+8x3+…+(3n-4)xn-1+(3n-1)xn②
①-②：(1-x)Sn=2+3x+3x2+3x3+…+3xn-1-(3n-1)xn=2+3

x(1-xn-1)

1-x

-(3n-1)xn
所以Sn=

2+x-(3n+2)xn+(3n-1)xn+1

(1-x)2

（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．