Question

已知函数f(x)=Acos (2ωx+2?)+2(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)的最大值为3，f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设数列a_n=f（n），S_n为其前n项和，求S₁₀₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由f（x）的最大值求A，再由相邻两对称轴间的距离求T，进而求ω，最后根据特殊点（0，2）求φ，则问题解决；
（Ⅱ）先求数列的通项a_n，再根据正弦的特点分组求和，则问题解决．

解答：解：（Ⅰ）依题意A+2=3，∴A=1．
又

T

2

=2，得T=4，∴

2π

2ω

=4ω=

π

4

∴f(x)=cos(

π

2

x+2?)+2．
令x=0，得cos2?+2=2，又0＜?＜

π

2

∴2?=

π

2

，
所以函数f（x）的解析式为f(x)=2-sin(

π

2

x)．
（Ⅱ）由f(x)=2-sin(

π

2

x)知an=f(n)=2-sin(

π

2

n)，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=…=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=8，
∴S₁₀₀=8×25=200．

点评：本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）+B的部分图象信息求其解析式的基本方法，同时进一步考查正弦函数的周期性．