下列命题中.真命题的序号是①③④①③④．①△ABC中.A＞B?sinA＞sinB②数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+1.则数列{an}是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3.4.a.则a的取值范围是7＜a＜5．④等差数列{an}前n项和为Sn．已知am-1+am+1-a2m=0.S2m-1=38.则m=10．⑤常数数列既是等差数列又是等比数列．⑥数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

下列命题中，真命题的序号是

①③④

．
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，则数列{a_n}是等差数列．
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是

＜a＜5．
④等差数列{a_n}前n项和为S_n．已知a_m-1+a_m+1-a²_m=0，S_2m-1=38，则m=10．
⑤常数数列既是等差数列又是等比数列．
⑥数列{a_n}满足，S_n=2a_n+1，则数列{a_n}为等比数列．

分析：①由正弦定理知

sinA

sinB

，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，可判断①．
②由S_n=n²-2n+1，知a₁=S₁=0，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．当n=1时，2n-1=1≠a₁．可判断②
③分两种情况来考虑，当a为最大边时，只要保证a所对的角为锐角就可以了；当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，可判断③．
④利用等差数列的性质a_n-1+a_n+1=2a_n，我们易求出a_m的值，再根据a_m为等差数列{a_n}的前2m-1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．可判断④
⑤根据常数列各项为0时，不满足等比数列的定义，可判断⑤
⑥根据已知，求出数列的首项为0，结合等比数列的定义，可判断⑥．

解答：解：由正弦定理知

sinA

sinB

=2R，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，
即A＞B?sinA＞sinB，故①正确；
∵S_n=n²-2n+1，∴a₁=S₁=0，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．由n=1时，2n-1=1≠a₁．故数列{a_n}不是等差数列，故②错误；
分两种情况来考虑：
当a为最大边时，设a所对的角为α，由α锐角，根据余弦定理可得：cosα=

32+42-a2

2×3×4

＞0，解得：0＜a＜5；
当a不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有3²+a²-4²＞0，可解得：a＞

，
所以综上可知x的取值范围为

＜a＜5．故③正确；
∵数列{a_n}为等差数列，∴a_n-1+a_n+1=2a_n，∵a_m-1+a_m+1-a_m²=0，∴2a_m-a_m²=0，解得：a_m=2，
又∵S_2m-1=（2m-1）a_m=38，解得m=10，故④正确
∵各项为0的常数列，不满足等比数列的定义，故⑤错误；
∵S₁=a₁=2a₁，∴a₁=0．可得数列{a_n}不是等比数列，故⑥错误
故答案为：①③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理与余弦定理，等差数列与等比数列的定义，难度中档．