Question

已知函数f（x）=2^x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1-|x|）则关于函数h（x）有下列命题：
①h（x）为图象关于y轴对称；
②h（x）是奇函数；
③h（x）的最小值为0；
④h（x）在（0，1）上为减函数．
其中正确命题的序号为

①④

（注：将所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：先根据函数f（x）=2^x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，求出函数g（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．

解答：解：∵函数f（x）=2^x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，
∴g（x）=log₂x
∴h（x）=g（1-|x|）=log₂（1-|x|），x∈（-1，1）
而h（-x）=log₂（1-|-x|）=h（x）
则h（x）不是奇函数是偶函数，故①正确，②不正确
该函数在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴h（x）有最大值为0，无最小值
故选项③不正确，④正确
故答案为：①④

点评：本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题．