Question

直线l与抛物线y²=4x交于两点A、B，O为原点，且•=-4
（1）求证：直线l恒过一定点；
（2）若4≤|AB|≤4，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）设抛物线的焦点为F，∠AFB=θ，试问θ角能否等于120°？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，l与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据•=-4求得y₁y₂，把直线与抛物线方程方程联立消去x根据韦达定理求得y₁y₂的表达式进而可求得b和k的关系，整理直线方程可知直线l过定点（2，0）；若直线l⊥x轴，易得x₁=x₂=2，则l也过定点（2，0）．
（2）由（1）可求得|AB|²的表达式，从而根据4≤|AB|≤4求得k的范围．
（3）假定θ=p，则可得cosθ，根据抛物线定义得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．从而表示出|AF|²+|BF|²-|AB|²和|AF|•|BF|代入
=-整理得x₁+x₂+1=0与x₁＞0且x₂＞0相矛盾，经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2＞p．综合可知，θ≠p．
解答：解：（1）1°若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，
l与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由•=-4得x₁x₂+y₁y₂=-4，即+y₁y₂=-4，
则y₁y₂=-8．
又由得ky²-4y+4b=0（k≠0）．
则y₁y₂==-8，即b=-2k，
则直线l的方程为y=k（x-2），则直线l过定点（2，0）．
2°若直线l⊥x轴，易得x₁=x₂=2，则l也过定点（2，0）．
综上，直线l恒过定点（2，0）．

（2）由（I）得|AB|²=（1+）（y₂-y₁）²=（+32）
从而6≤（+2）≤30．
解得k∈[-1，-]∪[，1]．

（3）假定θ=p，则有cosθ=-，
如图，即=-（*）
由（1）得y₁y₂=-8，x₁x₂==4．
由定义得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
从而有|AF|²+|BF|²-|AB|²=（x₁+1）²+（x₂+1）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=-2（x₁+x₂）-6，
|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5
将代入（*）得=-，即x₁+x₂+1=0．
这与x₁＞0且x₂＞0相矛盾！
经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2＞p．
综上，θ≠p．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的关系是高考的热点问题．试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．