Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣1|
（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：|4x﹣1|≤|2x+1|16x2﹣8x+1≤4x2+4x+112x2﹣12x≤0，

解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]

（2）解：f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，

由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．

从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．

故f（a2）+f（b2）的最小值为2

【解析】（1）去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义和绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．