题目内容

已知点F(-c,0)(c>0)是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P,且点P在抛物线y2=4cx上,则该双曲线的离心率是(  )
A.
3+
5
2
B.
5
C.
5
-1
2
D.
1+
5
2
如图,设抛物线y2=4cx的准线为l,作PQ⊥l于Q,
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双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径,
∴PF'⊥PF,且tan∠PFF′=
b
a
,|FF'|=2c,
设|PF'|=x,|PF|=y,则
y
x
=
b
a
y-x=2a
x2+y2=4c2
,解得b=2a,
所以4a2=c2-a2,即c2=5a2,所以c=
5
a
,即e=
5

故选B.
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