Question

【题目】对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.

(1)已知集合,,写出,的值；

(2)已知集合,其中,证明：有性质；

(3)已知集合,有性质,且求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)证明过程见解析； (3) .

【解析】

(1)利用定义,通过计算可以求出,的值；

(2)可以知道集合中的元素组成首项为,公比为的等比数列,只要证明这个等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中即可.

(3) 根据,有性质了,可以知道集合中元素的性质,这样可以求出的最小值.

(1) 根据定义可得：,.

所以

(2) 数列的通项公式为：.

若存在成立，则,因此有,即有.

等式的左边是2的倍数,右边是3的倍数,故等式不成立,因此等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中

所以中的元素的个数为：,即

,所以有性质；

(3) 集合具有性质,所以集合中的任意两个元素的和都不在该集合中,也就是集合中的任意两个元素的和都不相等,对于任意的有,也就是任意两个元素的差的绝对值不相等.

设,所以

集合具有性质 ,

集合,有性质,且

(当且仅当时,取等号).

所以的最小值为.