Question

已知函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1（k∈N^*），a₁=1；数列{b_n}满足：b₁=2，且对任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件得到切线方程，再求出a_k+1与a_k的关系，并判断其数列{a_n}是等比数列，即得到数列{a_n}的通项公式．令p=1，q=n则b₁+b_n=b_n+1，求得数列{b_n}的通项公式．
（II）由（1）知a_n•b_n，再用错位相减法来求前n项和T_n．

解答：解：（I）∵y'=2x，∴y-a_k²=2a_k（x-a_k）
令y=0?x=

1

2

ak即ak+1=

1

2

ak，∴数列{a_n}是以首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴an=(

1

2

)n-1（3分）
令p=1，q=n则b₁+b_n=b_n+1?b_n+1-b_n=2，即b_n=2+2（n-1）=2n（6分）
（II）anbn=2n•(

1

2

)n-1=4•n(

1

2

)n
Tn=4[1•(

1

2

)+2•(

1

2

)2++n•(

1

2

)n]①

1

2

Tn=4[1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+1]②
①-②得

1

2

Tn=4[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1]=4[

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1]
∴Tn=8(1-

n+2

2n+1

)（12分）

点评：此题考查等比数列和等差数列定义，及数列求和中常用的错位相减法．错位相减法是在数列求和中用的最为普遍．