题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上、下顶点分别是
，点
是
的中点，若
，且
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，求
的面积的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意可得
，
①,由
,可得
,即有
②,由①②解得
,．．．．．．．． 3分
故椭圆
的标准方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
（2）设
，
. ………………6分
由题意知，直线
的斜率不为零，可设直线
的方程为
，
由
得
，所以，
． ．．．．．．8分
因为直线
与椭圆
交于不同的两点，
所以
，即
，则
．．．．．．．．．．．．．．10分
令
，则
，则
，令
，由函数的性质可知，函数
在
上是单调递增函数，即当
时，
在
上单调递增，因此有
，所以
，即当
，即
时，
最大，最大值为3．．．．．．．． 12分
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，构建代数方法解决几何问题等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力，综合分析问题、解决问题的能力，推理能力和运算能力．
【题目】静宁县是甘肃苹果栽培第一大县，中国著名优质苹果基地和重要苹果出口基地．静宁县海拔高、光照充足、昼夜温差大、环境无污染，适合种植苹果．“静宁苹果”以色泽鲜艳、质细汁多，酸甜适度，口感脆甜、货架期长、极耐储藏和长途运输而著名．为检测一批静宁苹果，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100） |
频数（个） | 5 | 10 | 20 | 15 |
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．
