已知2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=.$\overrightarrow{c}$=.$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=4.|$\overrightarrow{b}$|=12.则以$\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{c}$为方向向量的两直线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，-5，10），$\overrightarrow{c}$=（1，-2，-2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=4，|$\overrightarrow{b}$|=12，则以$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为方向向量的两直线的夹角为$\frac{π}{3}$．

分析由已知向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$的坐标，结合$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=4求得$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，在求出$|\overrightarrow{c}|$，由两向量的夹角公式求得以$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为方向向量的两直线的夹角．

解答解：∵2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，-5，10），$\overrightarrow{c}$=（1，-2，-2），
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0×1+10-20=-10$，
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=4，∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=-18$．
∵$\overrightarrow{c}$=（1，-2，-2），∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}+（-2）^{2}}=3$，
又|$\overrightarrow{b}$|=12，
设以$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为方向向量的两直线的夹角为θ（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），
则cosθ=$|\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}|$=|$\frac{-18}{12×3}$|=$\frac{1}{2}$．
∴$θ=\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评本题考查数量积表示两个向量的夹角，如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|•\left|\overrightarrow{b}\right|}$即可求解，是中档题．