题目内容
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4=$\frac{40}{27}$．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：Sn＜$\frac{3}{2}$．
分析 （1）根据S1，2S2，3S3成等差数列建立等式，求出q的值，然后根据等比数列的求和公式建立等式，可求出的首项，从而求出数列的通项；
（2）运用等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．
解答 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵S1，2S2，3S3成等差数列
∴4S2=S1+3S3，即4（a1+a2）=a1+3（a1+a2+a3），
∴a2=3a3，即q=$\frac{1}{3}$，
又S4=$\frac{40}{27}$，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{40}{27}$，
解得a1=1，
∴an=（$\frac{1}{3}$）n-1；
（2）证明：Sn=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{2}$，
即有Sn＜$\frac{3}{2}$．
点评 本题主要考查了等差数列的性质，以及等比数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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