题目内容

已知数列{a_n}的前n项和s_n= $数学公式$ （n∈N）且a₂=2．
（1）求a₁，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证： $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜1．

（1）解：n=1时，a₁=S₁= $\text{[math]}$ =0；n=3时，0+a₂+a₃= $\text{[math]}$ ，∴a₃=4；n=4时，0+a₂+a₃+a₄= $\text{[math]}$ ，∴a₄=6；
（2）解：由（1）知，S_n= $\text{[math]}$ ，∴n≥3时，S_n-1= $\text{[math]}$
两式相减，整理可得 $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ =2（n-1）（n≥3）
∵a₁=0，a₂=2也符合上式
∴a_n=2（n-1）；
（3）证明：∵ $\text{[math]}$ （n≥2）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ＜1
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜1．
分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可求a₁，a₃，a₄的值；
（2）再写一式，两式相减，利用叠乘法，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）确定通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．