Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的值；
（2）若a=1，c=2，求b．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA，由0＜A＜π，sinA≠0，可解得cosB，结合范围0＜B＜π，可解得B的值．
（2）由（1）及余弦定理即可求得b的值．

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC．
∴由正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理可得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴可解得：cosB=$\frac{1}{2}$，结合0＜B＜π，可解得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=1，c=2，
∴由（1）及余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=1+4-2=3，可解得：b=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，由三角函数值求角是解题的关键，属于基本知识的考查．