题目内容

7.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c.已知(2a-c)cosB=bcosC.
(1)求角B的值;
(2)若a=1,c=2,求b.

分析 (1)由正弦定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA,由0<A<π,sinA≠0,可解得cosB,结合范围0<B<π,可解得B的值.
(2)由(1)及余弦定理即可求得b的值.

解答 解:(1)∵(2a-c)cosB=bcosC.
∴由正弦定理可得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理可得:2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,
∵0<A<π,sinA≠0,
∴可解得:cosB=$\frac{1}{2}$,结合0<B<π,可解得:B=$\frac{π}{3}$.
(2)∵a=1,c=2,
∴由(1)及余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB=1+4-2=3,可解得:b=$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理的综合应用,由三角函数值求角是解题的关键,属于基本知识的考查.

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