Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）解不等式f（x）+f（x-

1

2

）≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）可求f（1），令x=y=-1，求f（-1），令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式变f（x）+f（x-

1

2

）≤0为）f[x（x-

1

2

）]≤0．由（1）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+∞）上的递增函数，即可得到关于x的不等式．

解答：解：（1）f）x）为偶函数，证明如下：
证明：令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=0
令x=y=-1，则f（0）=2f（-1）
∴f（-1）=0------------------（2分）
又令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），所以f（x）为偶函数------（5分）
（2）∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴f（x）≤0=f（1）时，0＜x≤1
又由（1）得结论-1≤x＜0
∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0．
∴-1≤x(x-

1

2

)≤1且x（x-

1

2

）≠0
解可得到，

1- 17

4

≤x＜0或0＜x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

（12分）

点评：本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，及奇偶性的判断与证明，以及由函数的单调性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根据函数的单调性将其转化为一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，转化时要注意转化的等价性，别忘记定义域的考虑．