题目内容

已知向量 $数学公式$
（1）求 $数学公式$ 的最大值
（2）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求cosβ的值．

解：（1） $\text{[math]}$ =（cosβ-1，sinβ），则
| $\text{[math]}$ |²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤| $\text{[math]}$ |²≤4，即0≤| $\text{[math]}$ |≤2．
当cosβ=-1时，有| $\text{[math]}$ |=2，
所以向量 $\text{[math]}$ 的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ =（cosβ-1，sinβ），
$\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵ $\text{[math]}$ ⊥（ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）=0，即cos（α-β）=cosα．
由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ．…（14分）．
分析：（1）利用向量的运算法则求出 $\text{[math]}$ ，利用向量模的平方等于向量的平方求出 $\text{[math]}$ 的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．考查计算能力．