Question

已知向量
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值为-3，求实数k的值；
（3）若对任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵
∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化简整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函数y=f（x）的解析式为y=；
（2）∵f（x）==1+
∴根据函数f（x）的最小值为-3，得t=的最小值为-4
∵2^x+2^-x+1≥2+1=3
∴当k＞1时，=≤；当k＜1时，=≥；
k=1时，函数f（x）=1恒成立不符合题意．
∴结合题意可得k＜1，且当且仅当2^x=2^-x=1，即x=0时，t的最小值为=-4，解之得k=-11
即函数f（x）的最小值为-3时，实数k的值为-11；
（3）∵对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因为2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，
∴≤2，解之得1＜k≤4；
当k=1时，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足题意的条件；
当k＜1时，因为≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，
∴≥1，解之得-≤k＜1；
综上所述，实数k的取值范围是[-，4]
分析：（1）根据向量垂直的充要条件的坐标表示式，建立关于x、y的等式，从中解出用x表示y的式子，即可得到函数y=f（x）的解析式．
（2）将f（x）表达式的分子、分母都除以2^x，得到它的分母2^x+2^-x+1≥2+1=3．再根据k与1的大小关系分类讨论，即可得到必定有k＜1，且当2^x=2^-x=1即x=0时，函数有最小值为-3，由此解关于k的等式即得实数k的值．
（3）根据构成三角形的条件，得出不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，然后分三种情况进行讨论，转化为f（x₁）+f（x₂）的最小值与f（x₃）的最大值的不等式，进而可以求出实数k 的取值范围．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的表达式并讨论函数的最值．着重考查了向量数量积公式、基本不等式求最值、函数恒成立等知识，属于中档题．