Question

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（4、

1

4

）和B（5，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=log₂f（n）、n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0；
（3）对于（2）中的a_n与S_n，整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点A（4、

1

4

）和B（5，1）在图象上，则有

1

4

=a•b4，1=a•b⁵，从而求得a，b．得到函数解析式．
（2）由题意an=log2(

1

1024

•4n)=2n-10．再由前n项和公式求得Sn=

n

2

(a1+an)=n(n-9)，从而由a_nS_n≤0，建立关于n的不等式（n-5）（n-9）≤0可得结果．
（3）结合（2）来论证10⁴最近的项，能不能找到相应的n和它对它即可．

解答：解：（1）由

1

4

=a•b4，1=a•b⁵，得b=4，a=

1

1024

．
故f(x)=

1

1024

4xx．
（2）由题意an=log2(

1

1024

•4n)=2n-10．
Sn=

n

2

(a1+an)=n(n-9)，
a_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
由a_nS_n≤0，得（n-5）（n-9）≤0，即　5≤n≤9．
故　n=5，6，7，8，9．
（3）a₁S₁=64，a₂S₂=84，a₃S₃=72，a₄S₄=40．
当5≤n≤9时，a_nS_n≤0．
当10≤n≤22时，a_nS_n≤a₂₂S₂₂=9724＜10⁴．
当n≥23时，a_nS_n≥a₂₃S₂₃=11592＞10⁴．
因此，10⁴不是数列{a_nS_n}中的项．

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的通项和前n项和公式，及构造数列研究数列的规律等问题，属于难题．