Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1．{b_n}为等比数列，数列{a_n+b_n}的前三项依次为3，7，13．求
（1）数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）∵已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1．{b_n}为等比数列，数列{a_n+b_n}的前三项依次为3，7，13，所以我们易得到三个关于b₁和公差d及公比q的方程，解方程后，易得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由（1）易得数列{a_n+b_n}的通项公式，利用裂项法易得数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

解答：解：①设公差为d，公比为q
∵数列{a_n+b_n}的前三项依次为3，7，13
∴

a1+b1=3 a2+b2=7 a3+b3=13

又a₁=1
∴

b1=2 d=2 q=2

∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
②∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
∴a_n+b_n=（2n-1）+2ⁿ
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

点评：方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差（或公比）列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用．若一个数列的通项可以分解为一个等差数列加上一个等比数列的形式，可用裂项法，将数列的和分为等差和等比两部分，分别代入对应的公式，进行求解．（如第二步）