题目内容
（2013•烟台一模）已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=
；②f（x）=ex ③f（x）=
，则为“保比差数列函数”的是（ ）
| 1 |
| x |
| x |
分析：设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．
解答：解：设数列{an}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（an）=ln
，∴lnf（an+1）-lnf（an）=ln
-ln
=ln
=-lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（an）=lnean，∴lnf（an+1）-lnf（an）=lnean+1-lnean=an+1-an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；
③由题意，lnf（an）=ln
，∴lnf（an+1）-lnf（an）=ln
-ln
=
lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③
故选C．
①由题意，lnf（an）=ln
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| an |
| an+1 |
②由题意，lnf（an）=lnean，∴lnf（an+1）-lnf（an）=lnean+1-lnean=an+1-an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；
③由题意，lnf（an）=ln
| an |
| an+1 |
| an |
| 1 |
| 2 |
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③
故选C．
点评：本题考查新定义，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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