题目内容
在平面上有如下命题“0为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y满足
=x•
+y•
，且x+y=1”，类比此命题，给出在空间中相应的一个正确命题是什么？
| OP |
| OA |
| OB |
分析：将命题从平面类比到空间：直线类比到平面、三点共线类比到四点共面、未知数从2个类比到3个．由此得到命题：0为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x、y、z，满足
=x•
+y•
+z
，且x+y+z=1．再利用向量共线定理加以正反论证，可得本题答案．
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：由平面内的定理，类比到空间可得：
0为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x、y、z，
满足
=x•
+y•
+z
，且x+y+z=1．该命题是一个真命题，证明如下：
①当实数x、y、z，满足
=x•
+y•
+z
且x+y+z=1时，
（x+y+z）
=x•
+y•
+z
，化简得x
=y
+z
∴向量
、
、
共面的向量，可得点P在平面ABC上，故充分性成立；
②当点P在平面ABC上时，存在实数λ、μ，使
=λ
+μ
，
即
-
=λ（
-
）+μ（
-
），化简得
=-
+
+
，
因此，存在x=-
、y=
、z=
，
满足
=x•
+y•
+z
，且x+y+z=1．故必要性成立．
∴将题中的命题类比到空间，可得在空间中相应的一个正确命题为：0为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x、y、z，满足
=x•
+y•
+z
，且x+y+z=1．
0为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x、y、z，
满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
①当实数x、y、z，满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
（x+y+z）
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| AP |
| PB |
| CP |
∴向量
| AP |
| PB |
| CP |
②当点P在平面ABC上时，存在实数λ、μ，使
| PA |
| PB |
| PC |
即
| OA |
| OP |
| OB |
| OP |
| OC |
| OP |
| OP |
| 1 |
| λ+μ-1 |
| OA |
| λ |
| λ+μ-1 |
| OB |
| μ |
| λ+μ-1 |
| OC |
因此，存在x=-
| 1 |
| λ+μ-1 |
| λ |
| λ+μ-1 |
| μ |
| λ+μ-1 |
满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
∴将题中的命题类比到空间，可得在空间中相应的一个正确命题为：0为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x、y、z，满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
点评：本题将平面内的三点共线的一个命题类比到空间，并加以证明，着重考查了类比推理的一般方法和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．
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