Question

14、四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体．其中正确命题的序号是

①③

（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：本题考察的知识点是棱锥的结构特征，及异面直线及其所成的角，线面垂直之间的转化，正四面体的判定等知识点，根据上述知识对四个答案逐一进行判断，易得到答案．

解答：解：①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC
则连接各棱的中点后，我们易得到一个直三棱柱，
进而易得到AD⊥BC，故①正确；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，
则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补，故②错误；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，
则点O到平面ABD三个顶点的距离相等，利用勾股定理易得
点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等，即为△ABD的外心，故③正确；
④若四个面是全等的三角形，但不一定等边三角形，故四面体ABCD也不一定是正四面体，故④错误．
故答案为：①③

点评：我们在求两条异面直线的夹角时经常用平移的方法，构造三角形，进而解三角形求出夹角，但根据等解定理，构造的三角形中的角可能是锐角也可能是钝角，但两条直线的夹角不能为钝角，故三角形中形成的角可能与线线夹角相等也可能互补．