Question

给出下列命题：
①(

x

+

1

x

)6的展开式中的常数项是20；
②函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S

=∫

π -π

sinxdx；
③若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中真命题的序号是

①③

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析：①利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项即可进行判断．
②函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S

=∫

π -π

sinxdx，由正弦函数的符号变化分析；
③若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2，由正态曲线的性质验证．

解答：解：①(

x

+

1

x

)6的通项为T _r+1=

C

r 6

x

^6-r（

1

x

）^r=C₆^r

x

^6-2r
令6-2r=0得r=3，
∴展开式的常数项为T₄=C₆³=20．正确．
②当x∈[-π，0]时，y=sinx≤0，当x∈[0，π]时y=sinx≥0；②不正确；
由⑤的条件知：P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=0.5-P（0≤ξ≤1）=0.2，此命题正确．
故答案为：①③；

点评：本题考查二项展开式的通项公式，考查正态分布曲线的特点及所表示的意义等，解题的关键是掌握正态分布的性质，定积分的性质及零点的判断方法，此类题涉及的知识较多，故成功解题的关键是知识掌握得比较全面．