Question

如图，已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）。

（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么，k₁·k₂是定值吗？证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵l与圆相切
∴
∴m²=1+k²
由得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0
∴
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1
故k的取值范围为（-1，1）
由于
所以
∵0≤k²＜1
∴当k²=0时，x₂-x₁取最小值。
（2）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0）
∴
∴



由（1）得m²-k²=1
∴为定值。