题目内容

已知函数f(x)=2lnx-x2
(Ⅰ) 求函数y=f(x)在[
12
,2]
上的最大值.
(Ⅱ)如果函数g(x)=f(x)-ax的图象与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0),且0<x1<x2.y=g′(x)是
y=g(x)的导函数,若正常数p,q满足p+q=1,q≥p.求证:g′(px1+qx2)<0.
分析:(Ⅰ)f(x)=
2(1-x)(1+x)
x
由题意得f′(x)=0在x=1有唯一的极值点f(
1
2
)=-2ln2-
1
4
f(2)=2ln2-4,f(x)极大值=f(1)=-1,所以最大值为f(1)=-1
(Ⅱ)由题意得a=
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2)
所以只要证明g(x)=
2
x
-2x-a
=
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(2p-1)(x2-x1)
<0即可,只需证
u(x)=
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
即可,由题得u′(t)>0所以u(t)在t∈(0,1)上为增函数.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=2lnx-x2得到:f(x)=
2(1-x)(1+x)
x

x∈[
1
2
,2]
,故f′(x)=0在x=1有唯一的极值点,f(
1
2
)=-2ln2-
1
4
,f(2)=2ln2-4,f(x)极大值=f(1)=-1,
且知f(2)<f(
1
2
)<f(1)
,所以最大值为f(1)=-1.
(Ⅱ)∵g(x)=
2
x
-2x-a
,又f(x)-ax=0有两个不等的实根x1,x2
2lnx1-x12-ax1=0
2lnx2-x22-ax2=0
,两式相减得到:a=
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2)

于是g(px1+qx2)=
2
px1+qx2
-2(px1+qx2)-[
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2)]

=
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(2p-1)(x2-x1)

∵2p≤1,x2>x1>0,∴(2p-1)(x2-x1)≤0
要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
<0

只需证:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0

x1
x2
=t,0<t<1
,只需证:u(t)=
1-t
pt+q
+lnt<0
在0<t<1*u上恒成立,
又∵u(t)=
1
t
-
1
(pt+q)2
=
p2(t-1)(t-
q2
p2
)
t(pt+q)2

p+q=1,q≥
1
2
,则
q
p
≥1
,∴
q2
p2
≥1
,于是由t<1可知t-1<0,t-
q2
p2
<0

故知u′(t)>0∴u(t)在t∈(0,1)*u上为增函数,
则u(t)<u(1)=0,从而知
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
,即①成立,从而原不等式成立.
点评:此题主要考查利用导数函数的最值与函数的单调性,利用导数求出函数的最值从而进一步证明不等式的恒成立问题,利用导数证明不等式恒成立是高考的一个重点内容.
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