题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的左右顶点分别是
,
为直线
上一点(
点在
轴的上方),直线
与椭圆的另一个交点为
,直线
与椭圆的另一个交点为
.
(1)若的面积是
的面积的
,求直线
的方程;
(2)设直线与直线
的斜率分别为
,求证:
为定值;
(3)若的延长线交直线
于点
,求线段
长度的最小值.
【答案】(1);(2)见解析(3)
【解析】
(1)的面积是
的面积的
,可得
为
的中点,求出C后可计算
,即可写出直线方程(2)设直线
的方程,可联立椭圆得C点坐标,进而得P点坐标,写出PB方程得M坐标,即可求出
,证明
为定值(3)写出
,得CB直线方程,联立
得Q坐标,即可求出
,利用均值不等式求最值.
(1)
,
,即
为
的中点。
,代入椭圆方程得:
,
直线方程为:
(2)由 得:
由得
,
得
,
得:
得:
.
(3)
得
,当且仅当
时取最小值。

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