Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.

（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；

（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；

（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析（3）

【解析】

（1）的面积是的面积的，可得为的中点，求出C后可计算，即可写出直线方程（2）设直线的方程，可联立椭圆得C点坐标，进而得P点坐标，写出PB方程得M坐标，即可求出，证明为定值（3）写出，得CB直线方程，联立得Q坐标，即可求出，利用均值不等式求最值.

（1） , ,即为的中点。

，代入椭圆方程得：

，直线方程为：

（2）由 得：

由得，

得，

得：

得：

.

（3）

得

，当且仅当时取最小值。