Question

已知向量

m

=(2cosx，1)，

n

=(cosx，2

3

sinxcosx-1)，函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=

7

，sinA=3sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（B）=1，求出B的度数，把sinA=3sinC利用正弦定理化简得到a=3c，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB，a=3c的值代入求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，2

3

sinxcosx-1），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∵2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），
∴x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+

π

6

）=1，
∴sin（2B+

π

6

）=

1

2

，即2B+

π

6

=

5π

6

，即B=

π

3

，
∵sinA=3sinC，∴a=3c，
∵b=

7

，b²=a²+c²-2accosB，
∴a=3，c=1，
∵S=

1

2

acsinB，
∴△ABC的面积为

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．