Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①y=f（x）是偶函数；②f（x+6）=f（x）+f（3）③当x∈[0，3]时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0；则（　　）

A．函数f（x）在[6，9]上为增函数；在[9，12]上为减函数

B．函数f（x）在[6，12]上为增函数

C．方程f（x）=0在[-9，9]上有6个不等实根

D．方程f（x）=0在[-9，9]上有4个不等实根

Answer 1

分析：分析三个条件，得到原函数的性质，数形结合，即可得到答案

解答：解：由①知函数图象关于y轴对称；由②知，当x=-3时，f（-3+6）=f（-3）+f（3）即得f（3）=0，则有
f（x+6）=f（x）+0，得f（x+6）=f（x），故函数f（x）为周期函数，周期T=6；由③知原函数在[0，3]上单调递减．可得图示．由图可得答案．
故选D

点评：本题考查函数性质的综合应用和赋值法，以及数形结合思想，属中档题