Question

【题目】已知函数 f（x）=ax+（1﹣a）lnx+（a∈R）

（Ⅰ）当a=0时，求 f（x）的极值；

（Ⅱ）当a＜0时，求 f（x）的单调区间；

（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题（Ⅰ）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间；（Ⅲ）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零点个数．

试题解析：（Ⅰ）f（x）其定义域为（0，+∞）．

当a=0时，f（x）=，f'（x）=．

令f'（x）=0，解得x=1，

当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；

所以x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值

（Ⅱ） f'（x）=a﹣（x＞0）

令f'（x）=0，得x=1或x=﹣

当﹣1＜a＜0时，1＜﹣，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞﹣，

令f'（x）＞0，得1＜x＜﹣；

当a=﹣1时，f'（x）=﹣．

当a＜﹣1时，0＜﹣＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞1，

令f'（x）＞0，得﹣＜a＜1；

综上所述：

当﹣1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（﹣），

单调递增区间是（1，﹣）；

当a=﹣1时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；

当a＜﹣1时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），（1，+∞），单调递增区间是

（Ⅲ）a≥0∴

f'（x）=0（x＞0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解．

（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+1＞0说明．）

由（Ⅱ）知﹣1＜a＜0时，极小值 f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在区间（﹣）上有1个解．

a=﹣1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解．；

a＜﹣1时，，方程

f（x）=0仅在区间内（0，﹣）有1个解；

故方程f（x）=0的根的个数不能达到3．