Question

在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点. 经过这三个交点的圆记为.
(I)求实数的取值范围；
(II)求圆的一般方程；
(III)圆是否经过某个定点(其坐标与无关)？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(I)令得抛物线与轴交点是；令，由题意，
且，解得，且.
(II)设所求圆的一般方程为，
令得，，这与是同一个方程，故，.
令得，，此方程有一个根为，代入得出，
所以圆的一般方程为 .
(III)圆过定点和.
证明如下：
法1，直接将点的坐标代入验证；
法2，圆的方程改写为，于是有
，解得或，故过定点和.

略