Question

某校从高一年级周末考试的学生中抽出6O名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：(1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(2)已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.

Answer 1

（1）80%，72分；（2）

试题分析：（1）本小题要求的及格率只需找到60分及以上的各组频率和（或60分及以上的各组对应的长方形总面积）即可，也就是从图中可看出的每组长方形的高（其值为）与各组的组距相乘之和；平均分即为这组数据的平均数，只要把每组的组中值乘以每组的频率再相加即可；（2）本小题中从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，总的基本事件的数目为15个，而[90,100]分数段内学生数为0.005×10×60=3人，这3人成绩都不相同且都在94分以上，则可设他们的成绩是95,96,97，又“2个数恰好是两个学生的成绩”含的基本事件的数目为3，故所求概率为即为.
试题解析：(1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80所以，抽样学生成绩的合格率是80%.利用组中值估算抽样学生的平均分：=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72，所以，估计这次考试的平均分是72分.
(2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：（95，96），（95,97），（95,98），（95,99），（95,100），（96，98），（96,99），（96,100），（97,98），（97,99），（97,100），（98,99），（98,100），（99,100），共15个基本事件. 如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97. 则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件：（95，96），（95,97），（96,97).共有3个基本事件.所以所求的概率为P(A)==.，数据的平均数=每组的组中值乘以每组的频率再相加；基本事件的概念，古典概型的概率计算公式.