题目内容

二次函数f(x)=x2+2ax+2a+1.
(1)若对任意x∈R有f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)在区间[0,1]上的单调性;
(3)若对任意的x1,x2∈[0,1]有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)f(x)≥1?x2+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立,据二次函数性质有△≤0,解出即可;
(2)f(x)=(x+a)2-a2+2a+1,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x=-a,按对称轴x=-a与区间[0,1]的位置关键分三种情况讨论即可;
(3)|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立等价于f(x)max-f(x)min≤1,由(2)分情况求得其最大值、最小值即可得一不等式,解出即得a的范围.
解答:解:(1)f(x)≥1?x2+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立,
∴△=4a2-8a≤0,解得0≤a≤2,
∴a的范围是[0,2];
(2)f(x)=(x+a)2-a2+2a+1,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x=-a,
讨论:①当-a≤0即a≥0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增;
②当0<-a<1即-1<a<0时,f(x)在区间[0,-a]上单调递减,在区间[-a,1]上单调递增;
③当-a≥1即a≤-1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减.
(3)由题意知,|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立等价于f(x)max-f(x)min≤1,
f(0)=2a+1,f(1)=4a+2,f(-a)=-a2+2a+1,
由(2),
a≥0
f(1)-f(0)≤1
-1<a<0
f(1)-f(-a)≤1或f(0)-f(-a)≤1
a≤-1
f(0)-f(1)≤1

解得-1≤a≤0.
点评:本题考查二次函数的性质及函数恒成立问题,考查分类讨论思想,对于函数恒成立问题,往往转化为函数最值问题加以解决,属中档题.
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