题目内容
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）判断函数f（x）=x2-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设M＞0，N＞0，若f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界．求证：函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）若f(x)=1+a•(
)x+(
)x在[0．+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
（1）判断函数f（x）=x2-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设M＞0，N＞0，若f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界．求证：函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）若f(x)=1+a•(
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分析：（1先判断函数在[0，2]上的单调性，从而可得函数的值域，即可得到结论；
（2）利用f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，可得-M≤f（x）≤M，-N≤g（x）≤N，从而可得函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）利用定义可得-3≤1+a•(
)x+(
)x≤3在[0．+∞）上恒成立，换元，再分离参数求最值，即可得到结论．
（2）利用f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，可得-M≤f（x）≤M，-N≤g（x）≤N，从而可得函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）利用定义可得-3≤1+a•(
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解答：（1）解：∵f（x）=x2-2x+2在[0，1]上递减，在[1，2]上递增
∴当x∈[0，2]时，1≤f（x）≤2
∴当x∈[0，2]时，|f（x）|≤2
∴函数f（x）=x2-2x+2，x∈[0，2]是有界函数…（4分）
（2）证明：∵f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，∴-M≤f（x）≤M，∴-N≤g（x）≤N
∴-（M+N）≤f（x）+g（x）≤M+N，即|f（x）+g（x）|≤M+N
∴函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；…（8分）
（3）解：∵f(x)=1+a•(
)x+(
)x在[0．+∞）上是以3为上界的有界函数
∴-3≤1+a•(
)x+(
)x≤3在[0．+∞）上恒成立，
记(
)x=t，t∈(0，1]，∴-3≤1+a•t+t2≤3在t∈（0，1]时恒成立．
∴
在t∈（0，1]时恒成立．
函数y=
-t在（0，1]上单调递减，
∴a≤1；y=-(t+
)在t∈（0，1]上单调递增，∴a≥-5．
∴实数a的取值范围是-5≤a≤1…（13分）
∴当x∈[0，2]时，1≤f（x）≤2
∴当x∈[0，2]时，|f（x）|≤2
∴函数f（x）=x2-2x+2，x∈[0，2]是有界函数…（4分）
（2）证明：∵f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界，∴-M≤f（x）≤M，∴-N≤g（x）≤N
∴-（M+N）≤f（x）+g（x）≤M+N，即|f（x）+g（x）|≤M+N
∴函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；…（8分）
（3）解：∵f(x)=1+a•(
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∴-3≤1+a•(
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记(
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函数y=
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∴a≤1；y=-(t+
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∴实数a的取值范围是-5≤a≤1…（13分）
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）