Question

(本小题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n, 且满足条件：4S _n =+ 4n – 1 , nÎN*.

(1) 证明：(a _n– 2)² –=0 （n ³ 2）;(2) 满足条件的数列不惟一，试至少求出数列{a_n}的的3个不同的通项公式 .

Answer 1

(2) 当a₁ =1且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =1.  2）当a₁ =1且a _n – a _{n – 1}  = 2 时，得a_n = 2n–1 .

      3）当a₁ =3且a _n – a _{n – 1}  = 2 时，得a_n = 2n + 1 .     4）当a₁ =3且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =2(–1)^{n+ 1} + 1.

解析:

(1) 由条件4S _n =+ 4n – 1 , nÎN*.得4S _{n – 1} =+ 4(n – 1 ) – 1,

相减得：4a _n  = – + 4,化成–4a _n+ 4–= 0,

∴ (a _n– 2)² –=0 .     4分

   (2) 由(1)得：(a _n –2 + a_{n – 1} )(a _n –2 – a _{n – 1} ) = 0∴ a _n + a_{n – 1} = 2  或a _n – a _{n – 1}  = 2 . 2分

在4S _n =+ 4n – 1中，令n = 1,得4a₁ =+ 4 – 1,解得：a₁ =1或 a₁ =3.  2分

      分四种情况：

      1）当a₁ =1且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =1.

      2）当a₁ =1且a _n – a _{n – 1}  = 2 时，得a_n = 2n–1 .

      3）当a₁ =3且a _n – a _{n – 1}  = 2 时，得a_n = 2n + 1 .

      4）当a₁ =3且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =2(–1)^{n+ 1} + 1. 每个1分，有3个即可