题目内容
已知一次函数f(x)的图象关于直线y=x对称的图象为C,且f[f(1)]=-1,若点

(1)求f(x)的解析式及曲线C的方程;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设


【答案】分析:(1)首先设设f(x)=kx+b(k≠0),代入f[f(1)]即可得k2+kb+b+1=0①;求出反函数
,将点
代入得f-1(n)-f-1(n-1)=1,又
,即可得出k=1,代入①得b=-1
故可求出f(x)=x-1,f-1(x)=x+1,进而知曲线C的方程是x-y+1=0;
(2)由(1)知当x=n时,f-1(n)=n+1故
,即可求出an=n!;
(3)由(2)可得
,即可求出sn=b1+b2++bn=
.
解答:解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0)(1分)
则f[f(1)]=k(k+b)+b=k2+kb+b=-1即k2+kb+b+1=0①(2分)
又
是曲线C的解析式.
∵点
在曲线C上,
∴
又∵
故
,代入①得b=-1
∴f(x)=x-1,f-1(x)=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0(5分)
(2)由(1)知当x=n时,f-1(n)=n+1故
,而a1=1,
于是
3•2•1=n!(10分)
(3)∵
∴Sn=b1+b2++bn=
=
(14分)
点评:本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算,属于中档题.



故可求出f(x)=x-1,f-1(x)=x+1,进而知曲线C的方程是x-y+1=0;
(2)由(1)知当x=n时,f-1(n)=n+1故

(3)由(2)可得


解答:解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0)(1分)
则f[f(1)]=k(k+b)+b=k2+kb+b=-1即k2+kb+b+1=0①(2分)
又

∵点

∴

又∵


∴f(x)=x-1,f-1(x)=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0(5分)
(2)由(1)知当x=n时,f-1(n)=n+1故

于是


(3)∵

∴Sn=b1+b2++bn=



点评:本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算,属于中档题.

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