Question

（2012•眉山一模）(

3	x

+

1

3 x2

)6的展开式中第4项的值是-40，则

lim

n→∞

(1+x+x2+…+xn)=

2

3

．

Answer 1

分析：利用二项式定理第四项的系数求出x的值，然后利用等比数列的和的极限的求法求解即可．

解答：解：(

3	x

+

1

3 x2

)6的展开式中第4项是

C

3 6

(

3	x

)3(

1

3 x2

)3=20x^-1=-40
解得x=-

1

2

．
所以1，x，x²，…，xⁿ是等比数列，
于是

lim

n→∞

(1+x+x2+…+xn)=

lim

n→∞

1-(- 1 2 )n+1

1-(- 1 2 )

=

1

1-(- 1 2 )

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查二项式定理的应用，等比数列前n项和的极限的求法，考查计算能力．