题目内容
函数f（x）=ax3﹣6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y﹣11=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与
的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与
的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．解：（1）由题意得f'（x）=3ax2﹣12ax+3b，f'（2）=﹣3且f（2）=5，
∴
即
解得a=1，b=3，
∴f（x）=x3﹣6x2+9x+3．
（2）由f（x）=x3﹣6x2+9x+3，
可得f'（x）=3x2﹣12x+9，
=x2+x+3+m，
则由题意可得x3﹣6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3﹣7x2+8x﹣m的图象与x轴有三个不同的交点，
g'（x）=3x2﹣14x+8=（3x﹣2）（x﹣4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
则函数f（x）的极大值为
，极小值为g（4）=﹣16﹣m．
y=f（x）的图象与
的图象有三个不同交点，
则有：
解得
．
∴
即解得a=1，b=3，∴f（x）=x3﹣6x2+9x+3．
（2）由f（x）=x3﹣6x2+9x+3，
可得f'（x）=3x2﹣12x+9，
=x2+x+3+m，则由题意可得x3﹣6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3﹣7x2+8x﹣m的图象与x轴有三个不同的交点，
g'（x）=3x2﹣14x+8=（3x﹣2）（x﹣4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
则函数f（x）的极大值为
，极小值为g（4）=﹣16﹣m．y=f（x）的图象与
的图象有三个不同交点，则有：
解得．
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