题目内容
(本小题共14分)如图,四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
⊥底面
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若二面角为
,求
与平面
所成角的正弦值。
【答案】
(1)见解析;(2)
【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明,以及二面角的求解的综合运用。
(1)利用线面垂直的的判定定理和面面垂直的判定定理得到郑敏。
(2)合理的建立空间直角坐标系,可以表示出平面的法向量和法向量的夹角,然后借助于向量的数量积公式的得到二面角的平面角的求解。
解:(1)∵
∴
又∵⊥底面
∴
又∵ ∴
平面
而
平面
∴平面平面
…………6分
(2)由(1)所证,平面
所以∠即为二面角P-BC-D的平面角,即∠
………………7分
而,所以
分别以、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系。……………8分
则,
,
,
所以,,
,
……………10分
设平面的法向量为
,则
即 可解得
……………12分
∴与平面
所成角的正弦值为
………14分
(另外做出与平面
所成角或利用等体积求出也可)
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