Question

已知二次函数y=f（x）的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值h（t）；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由图象知：，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=-（x-4）²+16，
∴当t＞4时，f（x）的最大值是f（t）=-（t-4）²+16；
当t≤4≤t+2，即2≤t≤4时，f（t）的最大值是f（4）=16；
当t+2＜4，即t＜2时，f（x）的最大值是f（t+2）=-（t-2）²+16．∴…（8分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），则g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数φ（x）=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，φ′（x）＜0，φ（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）是增函数
当x=1或x=3时，φ′（x）=0
∴φ（x）极大值为φ（1）=m-7；φ（x）极小值为φ（3）=m+6ln3-15…（12分）
又因为当x→0时，φ（x）→-∞
当x→+∞时，φ（x）→+∞
所以要使φ（x）=0有且仅有两个不同的正根，只须或
即
∴m=7或m=15-6ln3．
∴当m=7或m=15-6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．…（14分）
分析：设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由图象知函数的图象过（0，），（8，0），最大值为16，代入可求a，b，c，从而可求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）由f（x）=-（x-4）²+16，要求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值h（t），需要考查对称轴x=4与区间[t，t+4]的位置关系：分t＞4，t≤4≤t+2，t+2＜4分别求解函数的最大值
（Ⅲ）构造函数φ（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数φ（x）=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，结合导数的知识可得必须且只须或，从而可求m的范围
点评：本题目考查了由二次函数的图象求解函数的解析式，考查了识别图象的能力及二次函数性质的应用，函数与方程的相互转化的思想在解题中的应用．