Question

已知函数f（x）=log_a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（-2，0），B（1，2）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=(

a

b

)2x-(

a

b

)x-1，x∈[0，+∞)，求g（x）的值域．

Answer 1

分析：此题（1）由带入法求解函数解析式，（2）是指数函数与二次函数的复合，转化成二次函数的最值问题，难度不大

解答：（1）∵已知函数f（x）=log_a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（-2，0），B（1，2）
∴f（-2）=0，f（1）=2
∴log_a（b-2）=0，log_a（1+b）=2
∴a=2，b=3
∴f（x）=log₂（x+3）
（2）∵g(x)=(

a

b

)2x-(

a

b

)x-1，x∈[0，+∞)
∴g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)
设t=(

2

3

)x，则t∈（0，1]
∴函数g（x）在t∈(0，

1

2

]上单调递减，在上单调递增．
∴t=

1

2

时，g（x）有最小值-

5

4

，t=1时，g（x）有最大值-1
∴g（x）的值域为[-

5

4

，-1]

点评：此题主要考查指数函数与二次函数的复合，从而转化成二次函数的最值问题，难度不大，是一道基础题目．