题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）且满足a≤
3
b，若离心率为e，则e2+
1
e2
的最小值为
 
．
分析：先根据e=
c
a
，c=
a2-b2
对e2+
1
e2
进行整理得2+
b2
a2
•
b2
a2-b2
，再根据a≤
3
b进而求得e2+
1
e2
的范围，求得最小值．
解答：解：∵a≤
3
b，
e2+
1
e2
=
c2
a2
+
a2
c2

=
a2-b2
a2
+
a2
a2-b2

=2+
b2
a2
•
b2
a2-b2

∵a≤
3
b，，∴a2≤3b2，
∴
b2
a2
≥
1
3
，且
b2
a2-b2
≥
b2
3b2-b2
=
1
2

∴
b2
a2
•
b2
a2-b2
≥
1
3
×
1
2
=
1
6

∴e2+
1
e2
≥
13
6

故答案为：
13
6
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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