Question

已知函数f（x）=2m-

1

|x|

，m∈R．
（1）求证：函数y=f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数
（2）若f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，证明f′（x）=-x^-2＜0，即可得到函数y=f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数；
（2）f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，等价于2m-x^-1-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，分离参数可得2m＜5x+

1

x

，求出右边函数的单调性，确定值域，即可求得m的取值范围．

解答：（1）证明：∵x∈（-∞，0），∴f（x）=2m+x^-1，∴f′（x）=-x^-2＜0
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数
（2）解：∵x∈（1，+∞），∴f（x）=2m-x^-1，
∵f（x）-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴2m-x^-1-5x＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴2m＜5x+

1

x

令F（x）=5x+

1

x

，则F′（x）=5-

1

x2

∵x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）=5x+

1

x

在（1，+∞）上为增函数
∴F（x）＞F（1）=6
∴2m≤6
∴m≤3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的值域，属于中档题．