Question

已知函数f（x）=
（1）确定f（x）的单调区间；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，∴（x＞0）
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1
∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，等价于≥k²-k
设g（x）=，则g′（x）=
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-
∵x≥1，∴h′（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增
∴h（x）的最小值为h（1）=1＞0，∴g′（x）＞0
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）的最小值为g（1）=2
∴k²-k≤2
∴-1≤k≤2．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）分离参数，确定函数的最值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．