Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=3

2

，连B₁C，过点B作B₁C的垂线，垂足为E且交CC₁于F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BF；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角F-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证A₁C⊥BF，只需证明BF垂直A₁C在面BC₁内的射影B₁C即可；
（Ⅱ）连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，要证AC₁∥平面BDF，只需证明AC₁平行平面BDF内的直线OF即可，（利用数据计算出F为为C₁C的中点）；
（Ⅲ）说明∠FOC为二面角F-BD-C的平面角，解Rt△ABC求二面角F-BD-C的大小．

解答：证明：（I）在长方体中，A₁B₁⊥面BC₁，
B₁C为A₁C在面BC₁内的射影，
BF?面BC₁，
且BF⊥B₁C，∴A₁C⊥BF．（3分）
证明（II）∵AB=BC=3，BB₁=3

3

，
在Rt△B₁BC中，B₁C=3

3

，∵BF⊥B₁C于E，∴BC²=CE•CB₁，得CE=

3

，
由△BB₁E∽△FCE得

CF

B1B

=

CE

B1E

=

1

2

，即F为C₁C的中点．（7分）
连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，则OF∥AC₁，∵AC₁?面BDF，OF?面BDF，∴AC₁∥平面BDF．（9分）
解（III）在长方体中，C₁C⊥面AC，OC为OF在面AC上的射影，BD?面AC，且BD⊥AC，∴BD⊥OF，
∴∠FOC为二面角F-BD-C的平面角．（11分）
在Rt△ABC中，OC=

1

2

AC=

3 2

2

，CF=

1

2

C1C=

3 2

2

，∴OC=CF，∴∠FOC=45°
∴二面角F-BD-C的大小为45°（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．