Question

已知函数f（x）=ae^x+x²-ax，a为实常数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求不等式f（x）＞f（-x）的解集；
（2）设斜率为k的直线与f（x）的图象交于A、B两点，其横坐标分别为x₁，x₂，若f′（x₀）=k，求证：x₀＞

x1+x2

2

．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间；
（2）先设F（x）=f（x）-f（-x）=a（e^x-e^-x-2x），将解不等式的问题转化为研究函数的最值问题．利用导数工具得出F（x）在R是增函数，从而求出不等式f（x）＞f（-x）的解集；
（3）根据直线的斜率公式得f′（x₀）=k，再计算出f′（

x1+x2

2

），作差f′（x₀）-f′（

x1+x2

2

）=

a(ex2-ex1)

x2-x1

-ae 

x1+x2

2

，设t=

x1+x2

2

，再作商

a(ex2-ex1)

x2-x1

÷（ae 

x1+x2

2

）=

et-e-t

2t

，最后利用（1）（2）中的结论即可证出结论．

解答：解：（1）f′（x）=ae^x+2x-a．设g（x）=ae^x+2x-a，
则g′（x）=ae^x+2＞0恒成立，故g（x）在R上是增函数，
即f′（x）是增函数，
又f′（0）=a-a=0，
∴当x＜0；由f′（x）＜0，当x＞0；由f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（-∞，0）；
（2）设F（x）=f（x）-f（-x）=a（e^x-e^-x-2x），则F′（x）=a（e^x+e^-x-2），
∵a＞0，e^x+e^-x≥2，∴F′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
所以F（x）在R是增函数，且F（0）=0，
∴F（x）＞0?x∈（0，+∞），
∴不等式f（x）＞f（-x）的解集（0，+∞）；
（3）由题意知，f′（x₀）=k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

a(ex2-ex1)

x2-x1

+（x₂+x₁）-a，
f′（

x1+x2

2

）=ae 

x1+x2

2

+（x₂+x₁）-a，
∴f′（x₀）-f′（

x1+x2

2

）=

a(ex2-ex1)

x2-x1

-ae 

x1+x2

2

，
设t=

x1+x2

2

，则

a(ex2-ex1)

x2-x1

÷（ae 

x1+x2

2

）=

et-e-t

2t

，
当t＞0时，由（2）知，e^t-e^-t-2t＞0，∴

et-e-t

2t

＞1，
当t＜0时，由（2）知，e^t-e^-t-2t＜0，∴

et-e-t

2t

＞1，
即

a(ex2-ex1)

x2-x1

＞ae 

x1+x2

2

，
∴f′（x₀）-f′（

x1+x2

2

）＞0，
又由（1）知，f′（x）是增函数，
∴x₀＞

x1+x2

2

．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法